国开网课《应用概率统计》综合作业1

一、填空题（每题 2 分，共 20 分）

1．已知随机事件 A 的概率 P (A)=0.5，事件 B 的概率 P (B)=0.6，条件概率 P (B｜A)=0.8，则事件 A∪B 的概率 P (A∪B)=

答案：0.7

2．设在三次独立试验中，随机事件 A 在每次试验中出现的概率为 1/3，则 A 至少出现一次的概率为

答案：19/27

3．设随机事件 A，B 及其和事件 A∪B 的概率分别是 0.4，0.3 和 0.6，则积事件 AB的概率 P (AB)=

答案：0.3

4．一批产品共有 10 个正品和两个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为

答案：1/5

5．设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取 2 件，已知所取 2 件产品中有一件是不合格品，则另 1 件也是不合格品的概率为

答案：0.2

6．设随机变量 X~N (3,σ²)，且 P (3<X<5)=0.3，则 P (X<1)=

答案：0.2

7．设随机变量 X 绝对值不大于 1，且 P (X=-1)=1/8，P (X=1)=1/4，则 P (-1<X<1)=

答案：7/16

8．设随机变量 X 的密度函数为 f (x)={2x,0<x<1；0，其他}，以 Y 表示对 X 的三次独立重复观察中事件 {X≤1/2} 出现的次数，则 P {Y=2}=

答案：9/64

9．设随机变量 X 的概率分布为 P (X=1)=0.2，P (X=2)=0.3，P (X=3)=0.5，则随机变量 X 的分布函数 F (x)

答案：F (x)=

0，x<1

0.2，1≤x<2

0.5，2≤x<3

1，x≥3

10．设随机变量 X 的密度函数为 f (x)=1/[π(1+x²)]，求随机变量 Y=1−3X 的密度函数 f_Y (y)

答案：3/{π[1+9 (1−y)²]}

二、选择题（每题 2 分，共 20 分）

1．同时抛掷 3 枚均匀对称的硬币，则恰有 2 枚正面向上的概率为

A.0.5 B.0.25 C.0.125 D.0.375

答案：D

2．某人独立地投三次篮球，每次投中的概率为 0.3，则其最可能失败（没投中）的次数为

A.2 B.2 或 3 C.3 D.1

答案：A

3．当随机事件 A 与 B 同时发生时，事件 C 必发生，则下列各式中正确的是

A.P (C)≤P (A)+P (B)-1

B.P (C)≥P (A)+P (B)-1

C.P (C)=P (AB)

D.P (C)=P (A∪B)

答案：B

4．0<P(A)<1，0<P(B)<1，P(A|B)+P (A|B)=1，则

A.A、B 互不相容

B.A、B 相互对立

C.A、B 不独立

D.A、B 相互独立

答案：D

5．A 与 B 是两个随机事件，0<P (A)<1，P (B)>0，P (A|B)=P (A|B)，则必有

A.P (A|B)=P(A|B)

B.P(A|B)≠P(A|B)

C.P (AB)=P (A) P (B)

D.P (AB)≠P (A) P (B)

答案：C

6．设随机变量 X 的密度函数 f (x) 满足 f (x)=f (-x)，F (x) 为分布函数，则对任意实数 a，有

A.F (-a)=1−∫₀ᵃf (x) dx

B.F (-a)=1/2−∫₀ᵃf (x) dx

C.F (-a)=F (a)

D.F (-a)=2F (a)−1

答案：B

7．设随机变量 X~N (μ,σ²)，则随着 σ 的增大，概率 P {|X−μ|<σ}

A. 单调增大 B. 单调减少 C. 保持不变 D. 增减不定

答案：C

8．设 X 和 Y 分别服从正态分布 N (μ,4²) 和 N (μ,5²)，记 P₁=P {X≤μ−4}，P₂=P {Y≥μ+5}，则

A. 对任意实数 μ，都有 P₁=P₂

B. 对任意实数 μ，都有 P₁<P₂

C. 只对 μ 个别值，才有 P₁=P₂

D. 对任意实数 μ，都有 P₁>P₂

答案：A

9．设随机变量 X~N (0,4)，则 P (X<1)=

A.∫₀¹ (1/(2√π)) e^(-x²/8) dx

B.∫{-∞}¹ (1/(4√π))e^(-x²/4) dx

C.1/2 − (1/(2√π))e^(-1/2)

D.∫{-∞}¹ (1/(2√2π)) e^(-x²/2) dx

答案：B

10．设随机变量 X 的分布函数 F (x)={0,x<0；x²/25,0≤x<5；1,x≥5}，则 P (3<X<5)=

A.4/25 B.9/25 C.16/25 D.1

答案：C

三、（10 分）摆地摊的某赌主拿了 8 个白的、8 个黑的围棋子放在一个签袋里，并规定凡愿摸彩者每人交一元钱作手续费，然后一次从口袋口摸出 5 个棋子，中彩情况如下：摸棋子 5 个白：彩金 20 元；4 个白：彩金 2 元；3 个白：纪念品（价值 5 角）；其他：同乐一次（无任何奖品）。试计算：①获得 20 元彩金的概率；②获得 2 元彩金的概率；③获得纪念品的概率；④按摸彩 1000 次统计，赌主可望净赚多少钱？

参考答案：净赚大约为 1000-692=308 元

四、（10 分）已知连续型随机变量 X 的密度函数为 f (x)={A x e^(-2x²),x≥0；0,x<0} 试求：（1）常数 A；（2）P (X=2)，P (0<X<2)；（3）X 的分布函数。

参考答案：

(1) A=4

(2) P (X=2)=0；P (0<X<2)=1−e^(-8)

(3) F (x)={0,x<0；1−e^(-2x²),x≥0}

五、（10 分）设 10 件产品中有 5 件一级品，3 件二级品，2 件次品，无放回地抽取，每次取一件，求在取得二级品之前取得一级品的概率。

参考答案：1/2

六、（10 分）某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩 X（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为 72 分，96 分以上的占考生总数的 2.3%，试求考生的外语成绩 X 在 60 分至 84 分之间的概率。Φ(1)=0.841，Φ(1.5)=0.933，Φ(2)=0.977

参考答案：0.682

七、（10 分）设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3 份、7 份和 5 份。随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出 2 份。试求：（1）先抽出的一份是女生表的概率 p；（2）若后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率 q。

参考答案：(1) p=29/90；(2) q=20/61

八、（10 分）假设一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N (t) 服从参数为 λt 的泊松分布，（1）求相继两次故障之间间隔时间 T 的概率分布；（2）求在设备已经无故障工作 8 小时的情形下，再无故障工作 8 小时的概率 q。

参考答案：

(1) T 服从参数 λ 的指数分布；

(2) q=e^(-8λ)