一、填空题（每小题 2 分，共 20 分）
1．在天平上重复称量一重为 a 的物品，测量结果为
X1,X2,…,Xn，各次结果相互独立且服从正态分布
N(a,0.22)，各次称量结果的算术平均值记为
Xn，为使
P(∣Xn−a∣<0.1)≥0.95，则 n 的值最小应取自然数
答案：16
2．设
X1,X2,…,Xn是来自正态总体
N(μ,42)的容量为 10 的简单随机样本，
S2为样本方差，已知
P(S2>a)=0.1，则
a=
答案：1
3．设随机变量 Y 服从自由度为 n 的 t 分布，则随机变量
Y2服从自由度为
答案：(1,n)的 F 分布
4．设总体 X 服从正态分布
N(12,σ2)，抽取容量为 25 的简单随机样本，测得样本方差为
S2=5.57，则样本均值
X小于 12.5 的概率为
答案：4/25
5．从正态分布
N(μ,σ2)中随机抽取容量为 16 的随机样本，且
μ,σ未知，则概率
P(σ2S2≤2.041)=
答案：1
6．设总体 X 的密度函数为
$
f(x,α)={(α+1)xα,0,0<x<1其他
其中
α>−1，
X1,X2,…,Xn是取自总体X的随机样本，则参数
α的极大似然估计值为
答案：α^=−1−i=1∑nlnxin
7．设总体X服从正态分布
N(μ,σ2)，其中
μ未知而
σ2已知，为使总体均值
μ的置信度为
1−α的置信区间的长度等于L，则需抽取的样本容量n最少为
答案：n=(L2σuα/2)2
8．设某种零件的直径（mm）服从正态分布
N(μ,σ2)，从这批零件中随机地抽取16个零件，测得样本均值为
X=12.075，样本方差
S2=0.00244，则均值
μ的置信度为0.95的置信区间为
答案：(1004.435, 1047.065)（试卷此处计算明显错误）
9．在假设检验中，若
σ2未知，原假设
H0:μ=μ0，备择假设
H1:μ>μ0时，检验的拒绝域为
答案：t>tα(n−1)
10．一大企业雇用的员工人数非常多，为了探讨员工的工龄 X (年)对员工的月薪 Y (百元)的影响，随机抽访了25名员工，并由记录结果得：
i=1∑25Xi=100, i=1∑25Yi=2000, i=1∑25Xi2=510, i=1∑25XiYi=9650，
则 Y 对 X 的线性回归方程为
答案：y^=11.47+2.62x
二、选择题（每小题2分，共20分）
1．设
X1,X2,…,Xn是来自正态总体
X∼N(0,σ2)的一个简单随机样本，
X为其样本均值，令
Y=σ2i=1∑n(Xi−X)2，则Y～（）
（A）χ2(n−1) （B）χ2(n) （C）N(μ,σ) （D）N(μ,nσ2)
答案：A（试卷标答D错误）
2．设X1,X2,…,Xn是来自正态总体X∼N(μ,σ2)的简单随机样本，X为样本均值，记
S12=n−11∑i=1n(Xi−X)2, S22=n1∑i=1n(Xi−X)2,S32=n−11∑i=1n(Xi−μ)2, S42=n1∑i=1n(Xi−μ)2
则服从自由度为
n−1 的 t 分布的随机变量是（）
(A)T=S1/n−1X−μ
(B)T=S2/n−1X−μ
(C)T=S3/nX−μ
(D)T=S4/nX−μ
答案：B
3．设
X1,X2,X3,X4是来自正态总体
X∼N(μ,22)的简单随机样本，若令
Y2=a(X1−2X2)2+b(3X3−4X4)2，则当
Y2服从
χ2分布时，必有（）
(A)a=91; b=1441
(B)a=1441; b=91
(C)a=1001; b=201
(D)a=201; b=1001
答案：D
4．设简单随机样本
X1,X2,…,Xn来自于正态总体
X∼N(μ,σ2)，则样本的二阶原点矩
A2=n1i=1∑nXi2的数学期望为（）
(A)41σ2 (B)21σ2 (C)σ2 (D)2σ2
答案：D（正确理论结果：μ2+σ2）
5．设随机变量 X 服从自由度为
(n,n)的 F 分布，已知
α满足条件
P(X>α)=0.05，则
P(X>α1)的值为（）
(A)0.025 (B)0.05 (C)0.95 (D)0.975
答案：C
6．设总体 X 服从正态分布
N(μ,σ2)，
X1,X2,…,Xn是从 X 中抽取的简单随机样本，其中
μ,σ2未知，则
μ的
100(1−α)%的置信区间（）
(A)(X−z2αnS, X+z2αnS)
(B)(X−t2α(n−1)nS, X+t2α(n−1)nS)
(C)(X−z2αnσ, X+z2αnσ)
(D)(X−t2α(n)nS, X+t2α(n)nS)
答案：A（试卷标答错误，正确选B）
7．设总体 X 服从正态分布
N(μ,σ2)，其中
μ未知，
σ2未知，
X1,X2,…,Xn是简单随机样本，记
X=n1∑i=1nXi，则当
μ的置信区间为
(X−z0.05nσ, X+z0.05nσ)时，其置信水平为（）
(A)0.90 (B)0.95 (C)0.975 (D)0.05
答案：C
8．从总体中抽取简单随机样本
X1,X2,X3，估计量
μ^1=21X1+31X2+61X3, μ^2=21X1+41X2+41X3
μ^3=31X1+31X2+61X3, μ^4=51X1+52X2+52X3
均是总体均值μ的无偏估计量，则其中最有效的估计量是（）
(A)μ^1 (B)μ^2 (C)μ^3 (D)μ^4
答案：B
9．从一批零件中随机地抽取100件测量其直径，测得平均直径为5.2cm，标准差为1.6cm，现想知道这批零件的直径是否符合标准5cm，采用 t 检验法，并取统计量为
t=1.6/10X−5.2，则在显著性水平
α下，其接受域为（）
(A)∣t∣<t2α(99)
(B)∣t∣<t2α(100)
(C)∣t∣≥t2α(99)
(D)∣t∣≥t2α(100)
答案：D（试卷标答错误，接受域为A）
10．在假设检验中，方差
σ2已知，
H0:μ=μ0，（）
(A)若备择假设H1:μ=μ0，则其拒绝域为∣T∣=S/nX−μ0≥tn−1(2α)
(B)若备择假设H1:μ=μ0，则其拒绝域为∣U∣=σ/nX−μ0≥u2α
(C)若备择假设H1:μ>μ0，则其拒绝域为∣U∣=σ/nX−μ0≥uα
(D)若备择假设H1:μ>μ0，则其拒绝域为U=σ/nX−μ0≤−uα
答案：B
三、（10分）现有一批种子，其中良种数占61，从中任选6000粒，问能以0.99的概率保证其中良种所占的比例与61相差多少？这时相应的良种数在哪一个范围？
解：这个问题属于”二项分布”，且
n=6000 、
p=1/6。
故 μ=E(X)=np=6000×1/6=1000，
D(X)=σ2=np(1−p)=6000×(1/6)×(1−1/6)=833.33。
切比雪夫不等式为 P{∣X−μ∣<ε}≥1−σ2/ε2。
我们取 ε=6000×(1/100)=60 粒。
所以， P{∣X−μ∣<ε}≥1−833.33/602=1−833.33/3600=0.7685。
换句话说，“任意选出6000粒种子的良种比例与1/6相比上下不超过1/100的概率”大于等于0.7685。
这个概率(0.7685)不算很低，也就是说，良种比例与1/6相比很可能不超过1/100。
四、（10分）设总体 X 服从正态分布 N(μ,σ2)，假如要以99%的概率保证偏差 ∣Xˉ−μ∣<0.1，试问：在 σ2=0.2 时，样本容量 n 应取多大？
解：（试卷此处解答粘贴错乱）
五、（10分）设总体 X 服从0‑1分布：P(X=x)=pxq1−x, x=0,1；其中 0<p<1, q=1−p，从总体 X 中抽取样本 X1,X2,…,Xn，求样本均值 Xˉ 的期望和方差、样本方差 S2 的期望。
解：
E(∑Xi)=∑E(Xi)=nE(X)=np
E[(∑Xi)/n]=[∑E(Xi)]/n=E(X)=p
D[(∑Xi)/n]=[∑D(Xi)]/n2=D(X)/n=p(1−p)/n
六、（10分）某商店为了解居民对某种商品的需求，调查了100家住户，得出每户每月平均需要量为10kg，方差为9。设居民对某种商品的需求量服从正态分布，如果此种商品供应该地区10000户居民，在 α=0.01 下，试对居民对该种商品的平均需求量进行区间估计；并依此考虑最少要准备多少商品才能以0.99的概率满足需要？
解：
由题设，n=100，样本均值 xˉ=10，样本方差 s2=9， α=0.01，查附表得 t2α(99)=2.63，
因此，居民对该商品平均需求量 μ 的置信度为0.99 的置信区间为
(10−2.63×103, 10+2.63×103)=(9.211, 10.789)
因 9.211×10000=92110(kg)，所以最少要准备92110kg这种商品，才能以0.99的概率满足需要。
七、（10分）某种零件的长度服从正态分布，它过去的均值为20.0，现换了新材料，为此从产品中随机抽取8个样品，测量长度为：20.0，20.0，20.1，20.0，20.2，20.3，19.8，20.2。问用新材料做的零件的平均长度是否起了变化（α=0.05）？
解：（试卷解答公式错乱，样本计算过程错误）
八、（10分）设总体 X 服从正态分布 N(μ,σ2)，X1,X2,…,Xn 是从 X 中抽取的简单随机样本，其中 μ,σ2 未知，选择常数 c，使统计量 T=c∑i=1n−1(Xi+1−Xi)2 是 σ2 的无偏估计量。
解：（试卷解答
